आकृति में दिए गए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। शीर्ष $A$ से भुजा $DC$ पर डाले गए शीर्षलंब की लंबाई भी ज्ञात कीजिए।
(N/A) $\Delta BCD$ की भुजाएँ $a = 12 \text{ cm}, b = 17 \text{ cm}$ और $c = 25 \text{ cm}$ हैं।
$\therefore \Delta BCD$ का अर्ध-परिमाप $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
चूँकि एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है:
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
माना शीर्ष $A$ से भुजा $DC$ पर डाला गया शीर्षलंब $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = आधार $\times$ शीर्षलंब
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $180 \text{ cm}^2$ है और शीर्षलंब की लंबाई $15 \text{ cm}$ है।
$\therefore \Delta BCD$ का अर्ध-परिमाप $(s)$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 17 + 25}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}.$
$\therefore \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ [हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर]
$= \sqrt{27(27 - 12)(27 - 17)(27 - 25)}$
$= \sqrt{27 \times 15 \times 10 \times 2}$
$= \sqrt{(9 \times 3) \times (3 \times 5) \times (5 \times 2) \times 2}$
$= \sqrt{9 \times 9 \times 25 \times 4} = 3 \times 3 \times 5 \times 2 = 90 \text{ cm}^2.$
चूँकि एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है:
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times \Delta BCD$ का क्षेत्रफल = $2 \times 90 = 180 \text{ cm}^2.$
माना शीर्ष $A$ से भुजा $DC$ पर डाला गया शीर्षलंब $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल = आधार $\times$ शीर्षलंब
$180 = DC \times h$
$180 = 12 \times h$
$h = \frac{180}{12} = 15 \text{ cm}.$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $180 \text{ cm}^2$ है और शीर्षलंब की लंबाई $15 \text{ cm}$ है।
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