वक्र frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 के बिंदु | vedclass

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Question

(C) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$बिंदु $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रे

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$\frac{b}{4 a}\left(a^2+b^2\right)$

Vedclass · Answer

(C) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$बिंदु $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}ight)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं।$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.बिंदु $A$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} ight) = -\frac{b}{a}$.अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.$A$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} ight) \dots (ii)$.$A$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} ight) \dots (iii)$.$X$-अक्ष पर त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ और $(iii)$ में $y=0$ रखें:स्पर्श रेखा के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. बिंदु $B = (\sqrt{2}a, 0)$.अभिलंब के लिए,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. बिंदु $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $A$ का $y$-निर्देशांक है,जो $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।आधार $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} ight) 	imes \left( \frac{b}{\sqrt{2}} ight) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

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