वक्रों $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और $xy=c^{2}$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए शर्त ज्ञात कीजिए।

(A) मान लीजिए कि वक्र $(x_{1}, y_{1})$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{b^{2}x}{a^{2}y}$।
$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{1} = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$ है।
वक्र $xy=c^{2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $x\frac{dy}{dx}+y=0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{2} = -\frac{y_{1}}{x_{1}}$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$m_{1} \times m_{2} = -1$ होना चाहिए।
ढालों का मान रखने पर,$\left(\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\right) \times \left(-\frac{y_{1}}{x_{1}}\right) = -1$।
इसे सरल करने पर $-\frac{b^{2}}{a^{2}} = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^{2} = b^{2}$ या $a^{2}-b^{2}=0$।