આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: નાભિઓ $(\pm 3, 0)$,$a = 4$.

ધારો કે $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ અને $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ બે છેદતા ઉપવલયો છે. જો $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ તેમના છેદબિંદુઓ હોય,તો $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$

જેનું લેટસ રેક્ટમ (નાભિલંબ) $8$ છે અને જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ,મુખ્ય અક્ષોના સંદર્ભમાં,શોધો.

$16x^2 + 25y^2 = 400$ ના નાભિઓ (foci) શોધો.

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયમાં,જો મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો તફાવત $10$ હોય અને એક નાભિ $(0, 5\sqrt{3})$ પર હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ કેટલી થાય?

$x^2+3y^2=12$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કેટલી છે?