આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $16$,નાભિ $(0, \pm 6)$.

વક્ર $x=3 \cos \theta, y=2 \sin \theta$ પરનું બિંદુ કે જ્યાં સ્પર્શક $X$-અક્ષને લંબ હોય તે છે

જેનું લેટસ રેક્ટમ (નાભિલંબ) $8$ છે અને જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે,તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ,મુખ્ય અક્ષોના સંદર્ભમાં,શોધો.

એક ઉપવલય $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ જ્યાં $a > b$ એ $x$ અને $y$ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના બે નાભિઓ છે અને $O$ એ ઉગમબિંદુ છે જેથી $OF_1 < OF_2$. ધારો કે ત્રિકોણ $OF_1F_2$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$ $(a > b)$ સમીકરણો એક શંકુ આકાર દર્શાવે છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચે મુજબ છે:

જો બિંદુ $P$ માંથી ઉપવલય $4x^2+9y^2-16x+54y+61=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.