बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $y^{\prime}=e^{x} \sin x$ है।

किसी प्रजाति की समय $t$ पर जनसंख्या $P=P(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dP}{dt}=0.5 P-450$ का पालन करती है। यदि $P(0)=850$ है,तो वह समय जिस पर जनसंख्या शून्य हो जाती है,है

$25^{\circ} C$ के कमरे के तापमान पर $100^{\circ} C$ पर स्थित पानी $10 \text{ मिनट में}$ ठंडा होकर $80^{\circ} C$ हो जाता है। तो $20 \text{ मिनट बाद}$ पानी का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?

एक कल्चर में बैक्टीरिया के बढ़ने की दर उस समय मौजूद बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है। यह पाया गया है कि $6 \text{ घंटे}$ में संख्या दोगुनी हो जाती है। $18 \text{ घंटे}$ के अंत में बैक्टीरिया की संख्या प्रारंभिक संख्या की $n$ गुना हो जाती है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

किसी समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी तत्व के विघटन की दर उस समय उसके द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होती है। यदि $k (k > 0)$ समानुपातिकता स्थिरांक है, तो $1.5 \text{ g}$ के प्रारंभिक द्रव्यमान को $0.5 \text{ g}$ द्रव्यमान में विघटित होने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

बैक्टीरिया की संख्या में वृद्धि,उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है। यदि मूल संख्या $N$,$4$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,तो बैक्टीरिया की संख्या $4N$ कितने समय में होगी ($\text{घंटे}$ में)?