वक्र y=x^{3}+2x+6 के उन अभिलंबों के समीकरण ज् | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}+2x+6$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}+2$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर अ

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$x+14y-254=0$ और $x+14y+86=0$

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(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^{3}+2x+6$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}+2$ है। किसी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^{2}+2}$ है। दी गई रेखा का समीकरण $x+14y+4=0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{14}x - \frac{4}{14}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-\frac{1}{14}$ है। चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{1}{3x^{2}+2} = -\frac{1}{14} \Rightarrow 3x^{2}+2 = 14 \Rightarrow 3x^{2} = 12 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. $x=2$ के लिए,$y = (2)^{3} + 2(2) + 6 = 8 + 4 + 6 = 18$. बिंदु $(2, 18)$ है। $x=-2$ के लिए,$y = (-2)^{3} + 2(-2) + 6 = -8 - 4 + 6 = -6$. बिंदु $(-2, -6)$ है। बिंदु $(2, 18)$ और ढाल $-\frac{1}{14}$ वाले अभिलंब का समीकरण: $y - 18 = -\frac{1}{14}(x - 2) \Rightarrow 14y - 252 = -x + 2 \Rightarrow x + 14y - 254 = 0$. बिंदु $(-2, -6)$ और ढाल $-\frac{1}{14}$ वाले अभिलंब का समीकरण: $y - (-6) = -\frac{1}{14}(x - (-2)) \Rightarrow y + 6 = -\frac{1}{14}(x + 2) \Rightarrow 14y + 84 = -x - 2 \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$. अतः,अभीष्ट समीकरण $x+14y-254=0$ और $x+14y+86=0$ हैं।

वक्र $y=x^{3}+2x+6$ के उन अभिलंबों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+14y+4=0$ के समांतर हैं।

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वक्र $y = x^{3} - 3x + 2$ के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जिसका $x$-निर्देशांक $3$ है।

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