सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta, y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$ के किसी भी बिंदु $\theta$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।

(A) दिए गए वक्र के समीकरण: $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta$ और $y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$.
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta + a \sin \theta + a \theta \cos \theta = a \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta - a \cos \theta + a \theta \sin \theta = a \theta \sin \theta$
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण $(Y - y) = -\cot \theta (X - x)$ है:
$Y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (X - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta))$
$Y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -X \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$
$X \cos \theta + Y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$
$X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|0 \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta - a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1}} = |a|$.
चूंकि $|a|$ एक अचर है,इसलिए अभिलंब की मूल बिंदु से दूरी अचर है।