बिंदुओं $(2, 1, -1)$ और $(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाले और समतल $x - 2y + 4z = 10$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

(D) माना समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 1) + c(z + 1) = 0$ है ... $(i)$
चूंकि यह $(-1, 3, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $a(-1 - 2) + b(3 - 1) + c(4 + 1) = 0$,जो सरल होकर $-3a + 2b + 5c = 0$ हो जाता है ... $(ii)$
समतल $(i)$,$x - 2y + 4z = 10$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश लंबवत हैं: $1(a) - 2(b) + 4(c) = 0$,जो $a - 2b + 4c = 0$ देता है ... $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(2)(4) - (5)(-2)} = \frac{-b}{(-3)(4) - (5)(1)} = \frac{c}{(-3)(-2) - (2)(1)}$
$\frac{a}{8 + 10} = \frac{-b}{-12 - 5} = \frac{c}{6 - 2}$
$\frac{a}{18} = \frac{b}{17} = \frac{c}{4} = k$
अतः,$a = 18k, b = 17k, c = 4k$.
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $18k(x - 2) + 17k(y - 1) + 4k(z + 1) = 0$
$18x - 36 + 17y - 17 + 4z + 4 = 0$
$18x + 17y + 4z - 49 = 0$
अतः,समीकरण $18x + 17y + 4z = 49$ है।