यदि n=2 hat{i}-3 hat{j}+4 hat{k},m=hat{i}-hat | vedclass

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Question

(D) समतलों $r \cdot n=1$ और $r \cdot m=-4$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ द्वारा दिया जाता

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$5 x-2 y-12 z+47=0$

Vedclass · Answer

(D) समतलों $r \cdot n=1$ और $r \cdot m=-4$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है। दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4\lambda$. यह समतल,समतल $r \cdot l = -8$ के लंबवत है,जहाँ $l = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$. अतः,अभिलंब सदिश $(n + \lambda m)$ को $l$ के लंबवत होना चाहिए,अर्थात $(n + \lambda m) \cdot l = 0$. $(n \cdot l) + \lambda(m \cdot l) = 0$. डॉट गुणन की गणना करने पर: $n \cdot l = (2)(2) + (-3)(-1) + (4)(1) = 4 + 3 + 4 = 11$. $m \cdot l = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$. इन मानों को रखने पर: $11 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$. अब,$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - \frac{11}{3}(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4(-\frac{11}{3})$. $r \cdot ((\frac{6-11}{3}) \hat{i} + (\frac{-9+11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) = 1 + \frac{44}{3}$. $r \cdot (-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) = \frac{47}{3}$. $3$ से गुणा करने पर: $r \cdot (-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$. $r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ का उपयोग करने पर,हमें $-5x + 2y + 12z = 47$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5x - 2y - 12z + 47 = 0$ मिलता है।

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यदि बिंदु $2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \lambda \hat{k}$ की समतल $\vec{r} \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) = 13$ से दूरी $5$ इकाई है,तो $\lambda =$

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