अवकल समीकरण $(x + 3y^3) \frac{dy}{dx} = y$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y > 0$ है।

मान लीजिए कि $f: [1, \infty) \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(1) = \frac{1}{3}$ और $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ के लिए। तो $f(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{6x^2 + (3x^2 + 2x^3 + 4)e^{-2x}}{(x^3 + 2)(2 + e^{-2x})} \right) y = 2 + e^{-2x}, x \in (-1, 2)$ का हल है, जो $y(0) = \frac{3}{2}$ को संतुष्ट करता है। यदि $y(1) = \alpha(2 + e^{-2})$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2x + x^2 \cot x$ $(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 0$ है।

यदि $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$, जहाँ $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$, वक्र $y = f(x)$ के संगत अवकल समीकरण है और $f(0) = 1$ है, तो $f(x) =$