अवकल समीकरण x log x frac{dy}{dx} + y = frac{2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ है। दोनों पक्षों को $x \log x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x

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$y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ है। दोनों पक्षों को $x \log x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x^2}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x^2}$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है। व्यापक हल का सूत्र $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ है। मान रखने पर: $y \log x = \int \left( \frac{2}{x^2} \log x ight) dx + C$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \frac{2 \log x}{x^2} dx$ के लिए,$u = \log x$ और $dv = \frac{2}{x^2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{2}{x}$ प्राप्त होता है। $\int u dv = uv - \int v du = (\log x)(-\frac{2}{x}) - \int (-\frac{2}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx$. $= -\frac{2 \log x}{x} + 2 \int x^{-2} dx = -\frac{2 \log x}{x} + 2(-\frac{1}{x}) = -\frac{2}{x}(\log x + 1)$. अतः,व्यापक हल $y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$ है।

अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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