प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प् | vedclass

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Question

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \fr

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माध्य $= \frac{n+1}{2}$,प्रसरण $= \frac{n^2-1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:माध्य $= \frac{	ext{सभी प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ight] - \left( \frac{n+1}{2} ight)^2$$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$अतः,माध्य $\frac{n+1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{n^2-1}{12}$ है।

गोल की संख्या	$0, 1, 2, 3, 4$
मैचों की संख्या	$1, 9, 7, 5, 3$

चर $(x)$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3} \ldots x_{15}$
आवृत्ति $(f)$	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3} \ldots f_{15}$

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

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