બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધો જે $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાને,જેના સ્થાન સદિશો $(2 \vec{a}+\vec{b})$ અને $(\vec{a}-3 \vec{b})$ છે,તેને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે. સાબિત કરો કે $P$ એ રેખાખંડ $RQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.

(N/A) આપેલ સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OP} = 2\vec{a} + \vec{b}$ અને $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} - 3\vec{b}$ છે.
બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 3\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1 - 2}$
$= \frac{\vec{a} - 3\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1}$
$= \frac{-3\vec{a} - 5\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 5\vec{b}$.
$P$ એ $RQ$ નું મધ્યબિંદુ છે તે દર્શાવવા માટે,$RQ$ નું મધ્યબિંદુ શોધીએ:
મધ્યબિંદુ $= \frac{\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OQ}}{2} = \frac{(3\vec{a} + 5\vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b})}{2}$
$= \frac{4\vec{a} + 2\vec{b}}{2} = 2\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{OP}$.
આમ,$RQ$ નું મધ્યબિંદુ $P$ હોવાથી,$P$ એ રેખાખંડ $RQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.