સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ નો સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

ધારો કે $PQR$ એક ત્રિકોણ છે. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે બાજુઓ $QR, RP$ અને $PQ$ પર એવી રીતે આવેલા છે કે જેથી $\frac{QA}{AR} = \frac{RB}{BP} = \frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$ થાય. તો $\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ ની કિંમત $........$ છે.

ધારો કે $\vec{u}$ એ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$ સાથે સમતલીય સદિશ છે. જો $\vec{u}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ હોય અને $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$ હોય,તો $|\vec{u}|^2 = \dots$

સાબિત કરો કે $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ થાય,જો અને માત્ર જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,જ્યાં $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ આપેલ છે.

ધારો કે સદિશો $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે. કોઈ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ માટે, ધારો કે $\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ છે. જો $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$ અને $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$ હોય, તો $|\vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો:

$a, b$ અને $c$ એવા ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $|a|=1, |b|=2, |c|=3$ અને $b, c$ પરસ્પર લંબ છે. જો $a$ પર $b$ નો પ્રક્ષેપ એ $a$ પર $c$ ના પ્રક્ષેપ જેટલો જ હોય, તો $|a-b+c|$ ની કિંમત શોધો.