રેખાઓ $\vec{r}=(8+3 \lambda) \hat{i}+(-9-16 \lambda) \hat{j}+(10+7 \lambda) \hat{k}$ અને $\vec{r}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k})$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો. ($\text{ એકમ}$ માં)

જો રેખાઓ $\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-5}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{38}{3 \sqrt{5}} k$ હોય અને $\int_0^{k}\left[x^2\right] dx=\alpha-\sqrt{\alpha}$ હોય,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો $6 \alpha^3$ ની કિંમત ............................ છે.

રેખાઓ $r = (3t - 4)\hat{i} - 2\hat{j} - (1 + 2t)\hat{k}$ અને $r = (6 + s)\hat{i} + (2 - 2s)\hat{j} + 2(1 + s)\hat{k}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

એક લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકનો એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O$ પર છે અને $x, y$ અને $z$ અક્ષો પર તેની ધારની લંબાઈ અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ એકમ છે. ધારો કે $P$ એ શિરોબિંદુ $(3, 4, 5)$ છે. તો વિકર્ણ $OP$ અને $z$-અક્ષને સમાંતર ધાર,જે $O$ કે $P$ માંથી પસાર થતી નથી,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

બિંદુઓ $A(2, 3, 4)$ અને $B(-3, 5, -4)$ ને જોડતો રેખાખંડ $yz$-સમતલને કયા બિંદુએ છેદે છે?

બે રેખાઓ $L_1: \vec{r}=(\hat{i}+5 \hat{j}+5 \hat{k})+t(4 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}=(2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})+s(8 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$ એવી છે કે