रेखाओं $\vec{r}=(8+3 \lambda) \hat{i}+(-9-16 \lambda) \hat{j}+(10+7 \lambda) \hat{k}$ और $\vec{r}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। ($\text{ इकाई}$ में)

रेखा $L$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरती है। रेखा $\vec{r} = (-1, 3, 4) + \lambda(3, -2, 1)$ से रेखा $L$ पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी स्थिर है। तो रेखा $L$ किस बिंदु से होकर नहीं गुजरती है?

विषमतलीय रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+5}{1}$ और $\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-4}{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

$2, 1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं $x = y + 2 = z$ और $x + 2 = 2y = 2z$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर मिलती है। यदि बिंदु $(1, 2, 12)$ से रेखा $PQ$ पर डाले गए लंब की लंबाई $l$ है,तो $l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली एक रेखा $L$, सदिशों $2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दोनों के लंबवत है। यदि $P(a, b, c)$ मूल बिंदु से रेखा $L$ पर डाले गए लंब का पाद (foot of perpendicular) है, तो $34(a + b + c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि बिंदुओं $A(3, -2, 2)$ और $B(6, -17, -4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के सापेक्ष $P(2, 3, 4)$ का हार्मोनिक संयुग्मी (harmonic conjugate) $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ है, तो $\alpha + \beta + \gamma =$