ભૂમિતિ શ્રેણી $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$ માં $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

જો $x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોય અને $a^x = b^y = c^z$ હોય,તો

એક કણ ઉગમબિંદુથી શરૂઆત કરે છે અને $1$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{1}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{2}$ એકમ ઊભી ઉપરની તરફ ખસે છે અને $P_{2}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{4}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{3}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{8}$ એકમ ઊભી નીચેની તરફ ખસે છે અને $P_{4}$ પર પહોંચે છે, પછી તે $\frac{1}{16}$ એકમ આડા જમણી તરફ ખસે છે અને $P_{5}$ પર પહોંચે છે અને આ રીતે આગળ વધે છે. ધારો કે $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ અને $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. તો, $(\alpha, \beta)$ શું છે?

દ્વિઘાત સમીકરણ $(n^2 - 2n + 2)x^2 - 3x + (n^2 - 2n + 2) = 0, n \in R$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $\alpha$ તેના બીજના ગુણાકારનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે અને $\beta$ તેના બીજના સરવાળાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તો તે સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) ના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો, જેનું પ્રથમ પદ $\alpha$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ છે, તે શોધો:

એક ભૌમિતિક શ્રેણીના ચોથા પદ અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો તેના પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ હોય,તો શ્રેણીના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો ધન પદ ધરાવતી $G.P.$ ના બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $3$ હોય અને તેના છઠ્ઠા,સાતમા અને આઠમા પદનો સરવાળો $243$ હોય,તો આ $G.P.$ ના પ્રથમ $50$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?