0

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi-x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{1-a^2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$.તેથી,$I = \int_0^\pi \frac{dx}{1+2a \cos x + a^2}$.$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \left( \frac{1}{1-2a \cos x + a^2} + \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} ight) dx$$2I = \int_0^\pi \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x} dx$$I = (1+a^2) \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$વિધેય $\pi/2$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$.અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \sec^2 x - 4a^2}$$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 (1+	an^2 x) - 4a^2}$$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 	an^2 x + (1-a^2)^2}$ધારો કે $u = 	an x$,તો $du = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x 	o 0, u 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \pi/2, u 	o \infty$.$I = 2(1+a^2) \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+a^2)^2 u^2 + (1-a^2)^2}$$I = \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2} \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^2} = \frac{2}{1+a^2} \cdot \frac{1+a^2}{1-a^2} [\arctan(\frac{u(1+a^2)}{1-a^2})]_0^{\infty}$$I = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{1-a^2}$.

$0 < a < 1$ માટે,સંકલન $\int_0^\pi \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^2}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $n \geq 1$ માટે,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ હોય,તો $P_{10} - 90P_8$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
તો,

$\int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx = $

$\int_0^\pi x (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx = $

જો $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,અને $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ હોય,તો $\frac{I_2}{I_1}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module