U_n = intlimits_0^1 x^n (2 - x)^n , dx અને V_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ ના સંકલન માટે,$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx

Vedclass · Accepted Answer

$U_n = 2^{2n} V_n$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ ના સંકલન માટે,$x = 2t$ આદેશ લેતા,$dx = 2 \, dt$ મળે. જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = 1, t = 1/2$ થાય. $U_n = \int\limits_0^{1/2} (2t)^n (2 - 2t)^n (2 \, dt) = \int\limits_0^{1/2} 2^n t^n 2^n (1 - t)^n (2 \, dt) = 2^{2n+1} \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt$. હવે,$V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$ ધ્યાનમાં લો. ગુણધર્મ $\int\limits_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int\limits_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(2a - x) = f(x)$ હોય,તો $f(x) = x^n (1 - x)^n$ માટે તપાસતા,$f(1 - x) = (1 - x)^n (1 - (1 - x))^n = (1 - x)^n x^n = f(x)$ મળે છે. તેથી,$V_n = 2 \int\limits_0^{1/2} x^n (1 - x)^n \, dx$. $U_n$ અને $V_n$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $U_n = 2^{2n} \left( 2 \int\limits_0^{1/2} t^n (1 - t)^n \, dt \right) = 2^{2n} V_n$.

$U_n = \int\limits_0^1 x^n (2 - x)^n \, dx$ અને $V_n = \int\limits_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx$,જ્યાં $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

$\int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x=$

જો $f$ અને $g$ એ $[0, a]$ માં સતત વિધેયો હોય જે $f(x) = f(a - x)$ અને $g(x) + g(a - x) = 4$ નું સમાધાન કરે છે,તો $\int_{0}^{a} f(x) g(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left( \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} \right) dx$ નું મૂલ્ય છે:

સંકલન $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\cot x}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module