समतल में एक बिंदु P(x, y) के लिए,मान लीजिए d_ | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $P(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु है,इसलिए $x > 0$ और $y > 0$ है।दूरियाँ $d_1(P) = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ और $d_2(P) = \frac{|x+y|

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$6$

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(C) मान लीजिए $P(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु है,इसलिए $x > 0$ और $y > 0$ है।दूरियाँ $d_1(P) = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ और $d_2(P) = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ हैं।दी गई शर्त $2 \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} + \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} \leq 4$ है,जो $2\sqrt{2} \leq |x-y| + |x+y| \leq 4\sqrt{2}$ में सरल हो जाती है।स्थिति $1$: $x \geq y$. तो $|x-y| + |x+y| = (x-y) + (x+y) = 2x$.अतः,$2\sqrt{2} \leq 2x \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $x \geq y > 0$,यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में एक आयत है।स्थिति $2$: $y > x$. तो $|x-y| + |x+y| = (y-x) + (x+y) = 2y$.अतः,$2\sqrt{2} \leq 2y \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$. चूंकि $y > x > 0$,यह क्षेत्र भी एक आयत है।क्षेत्र $R$ इन दो आयतों का संघ है,जो एक $L$-आकार का क्षेत्र बनाता है।क्षेत्रफल $2\sqrt{2}$ भुजा वाले बड़े वर्ग और $\sqrt{2}$ भुजा वाले छोटे वर्ग के क्षेत्रफल का अंतर है।क्षेत्रफल $= (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6$.

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