यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो सरल रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा किस बिंदु से होकर गुजरेगी?

समतल में $y=x+r$ और $y=-x+r$ द्वारा दी गई चौदह रेखाओं पर विचार करें,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। इन रेखाओं द्वारा निर्मित वर्गों की संख्या,जिनकी भुजाओं की लंबाई $\sqrt{2}$ है,है:

यदि $16a^2 - 40ab + 25b^2 - c^2 = 0$ है,तो रेखा $ax + by + c = 0$ किन बिंदुओं से होकर गुजरती है?

यदि एक समबाहु त्रिभुज के आधार का समीकरण $2x - y = 1$ है और शीर्ष $(-1, 2)$ है,तो त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

एक समचतुर्भुज की दो असमांतर भुजाएँ रेखाओं $x+y-1=0$ और $7x-y-5=0$ के समांतर हैं। यदि $(1,3)$ समचतुर्भुज का केंद्र है और इसका एक शीर्ष $A(\alpha, \beta)$ रेखा $15x-5y=6$ पर स्थित है,तो $(\alpha+\beta)$ का एक संभावित मान है

$(2,3)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के साथ $12$ वर्ग इकाई का क्षेत्रफल बनाने वाली संभावित भिन्न सरल रेखाओं की संख्या क्या है?