एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,मान लीजिए {f_n}( | vedclass

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Question

(D) दिया गया है ${f_n}(	heta ) = 	an \frac{	heta }{2} (1 + \sec 	heta ) (1 + \sec 2	heta ) \dots (1 + \sec {2^n}	heta ).$$1 + \sec x = 1 + \frac

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उपरोक्त सभी

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(D) दिया गया है ${f_n}(	heta ) = 	an \frac{	heta }{2} (1 + \sec 	heta ) (1 + \sec 2	heta ) \dots (1 + \sec {2^n}	heta ).$$1 + \sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2\cos^2(x/2)}{\cos x}$ का उपयोग करते हुए:${f_n}(	heta ) = \frac{\sin(	heta/2)}{\cos(	heta/2)} \cdot \frac{2\cos^2(	heta/2)}{\cos 	heta} \cdot \frac{2\cos^2 	heta}{\cos 2	heta} \cdot \frac{2\cos^2 2	heta}{\cos 4	heta} \dots \frac{2\cos^2(2^{n-1}	heta)}{\cos(2^n	heta)}.$पदों को सरल करने पर:${f_n}(	heta ) = \frac{2\sin(	heta/2)\cos(	heta/2)}{\cos 	heta} \cdot \frac{2\cos^2 	heta}{\cos 2	heta} \dots = \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} \cdot \frac{2\cos^2 	heta}{\cos 2	heta} \dots = 	an 	heta \cdot \frac{2\cos^2 	heta}{\cos 2	heta} \dots = 	an 2	heta \cdot \frac{2\cos^2 2	heta}{\cos 4	heta} \dots$इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें ${f_n}(	heta ) = 	an(2^n	heta)$ प्राप्त होता है।विकल्प $A$ के लिए: ${f_2}(\pi/16) = 	an(2^2 \cdot \pi/16) = 	an(4\pi/16) = 	an(\pi/4) = 1.$विकल्प $B$ के लिए: ${f_3}(\pi/32) = 	an(2^3 \cdot \pi/32) = 	an(8\pi/32) = 	an(\pi/4) = 1.$विकल्प $C$ के लिए: ${f_4}(\pi/64) = 	an(2^4 \cdot \pi/64) = 	an(16\pi/64) = 	an(\pi/4) = 1.$अतः,उपरोक्त सभी सही हैं।

एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए ${f_n}(\theta ) = \left( {\tan \frac{\theta }{2}} \right)\,(1 + \sec \theta )\,(1 + \sec 2\theta )\,(1 + \sec 4\theta ) \dots (1 + \sec {2^n}\theta ).$ तो

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