વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,ધારો કે [x] એ x થી નાન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{

Vedclass · Accepted Answer

$91$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.ધારો કે $u = x-k$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=k, u=0$ અને જ્યારે $x=k+1, u=1$.તેથી,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} ight]_0^1 = \frac{1}{2}$.આમ,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.આપણને આપેલ છે કે $I > 2013$,તેથી $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.$n(n-1) > 8052$.કારણ કે $90 	imes 89 = 8010$ અને $91 	imes 90 = 8190$ થાય છે,તેથી અસમતાનું પાલન કરતો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $n = 91$ છે.

Similar Questions

વિધેય $L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}$ એ કયું સમીકરણ સંતોષે છે?

ધારો કે $\alpha \in (0,1)$ અને $\beta = \log_{e}(1-\alpha)$. ધારો કે $P_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots + \frac{x^n}{n}$ જ્યાં $x \in (0,1)$. તો સંકલન $\int_{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} dt$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[0, 1]$ માં એક સતત વિધેય છે, તો $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{j=0}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{j}{n}\right)$ શું થશે?

$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \,dx$ ની કિંમત શોધો:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x < 1 \\ \sqrt{x}, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \implies \int_0^2 f(x) \, dx = ?$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module