યોગ્ય રીતે પસંદ કરેલ વાસ્તવિક અચળાંક $a$ માટે,વિધેય $f: R - \{-a\} \rightarrow R$ ને $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. વધુમાં,ધારો કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x \neq -a$ અને $f(x) \neq -a$ માટે,$(f \circ f)(x) = x$ છે. તો $f\left(\frac{-1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\overline{AB}=2 \hat{i}+10 \hat{j}+11 \hat{k}$ અને $\overline{AD}=-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બાજુ $AD$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ જેટલી ફેરવવામાં આવે છે જેથી $AD$ એ $AD^{\prime}$ બને છે. જો $AD^{\prime}$ એ બાજુ $AB$ સાથે કાટખૂણો બનાવે,તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) શું થાય?

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો :
$I$. વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-7=0$ એ $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે.
$II$. વર્તુળ $x^2+y^2+6x+4y-7=0$ એ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે.
નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

બુલેટપ્રૂફ જેકેટ બનાવવા માટે વપરાતા કેવલરનું પ્રમાણસૂચક સૂત્ર નક્કી કરો,જો તેમાં $70.6 \% \, C, 4.2 \% \, H, 11.8 \% \, N$ અને $13.4 \% \, O$ હોય.

જો $\vec{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\vec b = \frac{1}{7}(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$ હોય,તો $(2\vec a - \vec b) \cdot [(\vec a \times \vec b) \times (\vec a + 2\vec b)]$ ની કિંમત શોધો.

$2.05 \times 10^6 \ kg$ દળ ધરાવતી ટ્રેન પર એન્જિન દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ તેનો વેગ $5 \ m/s$ થી બદલીને $5 \ minutes$ માં $25 \ m/s$ કરે છે. એન્જિનનો પાવર કેટલો હશે ($MW$ માં)?