किसी भी $n \in N$ के लिए,$4^n+15n-1$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$x^{n}-y^{n}$,$x-y$ से विभाज्य है,जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं और $x \neq y$ है।

मान लीजिए $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$. तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$7^{n}-2^{n}$,$5$ से विभाज्य है।

सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$10^{2n-1} + 1$,$11$ से विभाज्य है।