गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए,$x^{n}-y^{n}$,$x-y$ से विभाज्य है,जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं और $x \neq y$ है।

(N/A) माना $P(n): x^{n}-y^{n}$,$(x-y)$ से विभाज्य है,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1): x^{1}-y^{1} = x-y$,जो स्पष्ट रूप से $(x-y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $x^{k}-y^{k} = m(x-y)$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। (समीकरण $i$)
चरण $3$: $n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): x^{k+1}-y^{k+1}$,$(x-y)$ से विभाज्य है।
$x^{k+1}-y^{k+1} = x^{k+1} - x^{k}y + x^{k}y - y^{k+1}$
$= x^{k}(x-y) + y(x^{k}-y^{k})$
समीकरण $i$ से मान रखने पर:
$= x^{k}(x-y) + y(m(x-y))$
$= (x-y)(x^{k} + my)$
चूँकि $(x^{k} + my)$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x^{k+1}-y^{k+1}$,$(x-y)$ से विभाज्य है।
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।