ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$x^{n}-y^{n}$ એ $x-y$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ $x \neq y$ હોય તેવા કોઈપણ પૂર્ણાંકો છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): x^{n}-y^{n}$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $(x-y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$P(1): x^{1}-y^{1} = x-y$,જે સ્પષ્ટપણે $(x-y)$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in \mathbb{N}$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $x^{k}-y^{k} = m(x-y)$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે. (સમીકરણ $i$)
પગલું $3$: $n=k+1$ માટે,આપણે દર્શાવવું છે કે $P(k+1): x^{k+1}-y^{k+1}$ એ $(x-y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
$x^{k+1}-y^{k+1} = x^{k+1} - x^{k}y + x^{k}y - y^{k+1}$
$= x^{k}(x-y) + y(x^{k}-y^{k})$
સમીકરણ $i$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$= x^{k}(x-y) + y(m(x-y))$
$= (x-y)(x^{k} + my)$
કારણ કે $(x^{k} + my)$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $x^{k+1}-y^{k+1}$ એ $(x-y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.