કોઈપણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે સાબિત કરો કે $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.

(N/A) ત્રિકોણમાં,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AB + BC > AC$ (સમીકરણ $1$).
$2$. $\triangle ADC$ માં,$AD + CD > AC$ (સમીકરણ $2$).
$3$. $\triangle ABD$ માં,$AB + AD > BD$ (સમીકરણ $3$).
$4$. $\triangle BCD$ માં,$BC + CD > BD$ (સમીકરણ $4$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + BC + AD + CD) > 2AC$ મળે છે.
સમીકરણ $3$ અને $4$ નો સરવાળો કરતા: $(AB + AD + BC + CD) > 2BD$ મળે છે.
આ બંને પરિણામી અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.