किसी भी विषम पूर्णांक n ge 1 के लिए,{n^3} - { | vedclass

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Question

(D) माना $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.चूँकि $n$ एक विषम संख्या है,अंतिम पद ${1^3}$ है।हम $S = \sum_{k=1}^{n}

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$\frac{1}{4}{(n + 1)^2}(2n - 1)$

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(D) माना $S = {n^3} - {(n - 1)^3} + {(n - 2)^3} - {(n - 3)^3} + \dots + {1^3}$.चूँकि $n$ एक विषम संख्या है,अंतिम पद ${1^3}$ है।हम $S = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 2 \sum_{k=1}^{(n-1)/2} (2k)^3$ लिख सकते हैं।सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left[ \frac{m(m+1)}{2} \right]^2$ का उपयोग करने पर:$S = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 16 \left[ \frac{\frac{n-1}{2} (\frac{n-1}{2} + 1)}{2} \right]^2$$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{(n-1)^2(n+1)^2}{4}$$S = \frac{(n+1)^2}{4} [n^2 - (n-1)^2]$$S = \frac{(n+1)^2}{4} (2n - 1)$.

किसी भी विषम पूर्णांक $n \ge 1$ के लिए,${n^3} - {(n - 1)^3} + \dots + {( - 1)^{n - 1}}{1^3} = $

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