किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=\operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2}-\operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2}.$

माना $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ और $z_{2}=x_{2}+i y_{2}.$
तब,$z_{1} z_{2}=(x_{1}+i y_{1})(x_{2}+i y_{2}).$
गुणनफल का विस्तार करने पर,$z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}+i^{2} y_{1} y_{2}.$
चूंकि $i^{2}=-1,$ इसलिए $z_{1} z_{2}=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i y_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहित करने पर,$z_{1} z_{2}=(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2})+i(x_{1} y_{2}+y_{1} x_{2}).$
अतः वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}.$
चूंकि $\operatorname{Re} z_{1}=x_{1}, \operatorname{Re} z_{2}=x_{2}, \operatorname{Im} z_{1}=y_{1},$ और $\operatorname{Im} z_{2}=y_{2},$
अतः $\operatorname{Re}(z_{1} z_{2})=\operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2}-\operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2}$ सिद्ध हुआ।