દરેક ધન પૂર્ણાંક n માટે,f_n(x) = minleft(frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ માટે $\frac{x^n}{n!} \l

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{e} - 3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ માટે $\frac{x^n}{n!} \leq \frac{(1-x)^n}{n!}$ અને $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ માટે $\frac{(1-x)^n}{n!} \leq \frac{x^n}{n!}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:$I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-x)^n}{n!} dx$.સંમિતિ દ્વારા,$I_n = 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx = 2 \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \right]_{0}^{1/2} = 2 \frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.હવે,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.ધારો કે $k = n+1$,તો $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{k-1}}{k!} = 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!}$.$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ હોવાથી,$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!} = e^{1/2} - (1 + 1/2) = \sqrt{e} - \frac{3}{2}$.આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = 2(\sqrt{e} - \frac{3}{2}) = 2\sqrt{e} - 3$.

Similar Questions

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

જો $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ હોય,તો $A$ ની કિંમત શું થાય?

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{4042} \frac{\sqrt{x} \, dx}{\sqrt{x}+\sqrt{4042-x}}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module