x के कितने भिन्न मानों के लिए समीकरण sin [2 c | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 	an^{-1} x)] = 0$ है। माना $	heta = 2 	an^{-1} x$. तब $\cot 	heta = \cot (2 	an^{-1} x) = \frac{1

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$6$

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(C) दिया गया समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 	an^{-1} x)] = 0$ है। माना $	heta = 2 	an^{-1} x$. तब $\cot 	heta = \cot (2 	an^{-1} x) = \frac{1 - 	an^2(	an^{-1} x)}{2 	an(	an^{-1} x)} = \frac{1 - x^2}{2x}$. समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x})] = 0$ हो जाता है। इसका अर्थ है कि $2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = n\pi$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। अतः,$\cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = \frac{n\pi}{2}$. दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर,$\frac{1 - x^2}{2x} = \cos(\frac{n\pi}{2})$. परिभाषित होने के लिए,$\cos^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए,इसलिए $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$. $\cos(\frac{n\pi}{2})$ के लिए संभावित मान $0, 1, -1$ हैं। स्थिति $1$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. स्थिति $2$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$. स्थिति $3$: $\frac{1 - x^2}{2x} = -1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$. ये सभी $6$ मान शर्त $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$ को संतुष्ट करते हैं। अतः,$x$ के $6$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।

$x$ के कितने भिन्न मानों के लिए समीकरण $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ सत्य है?

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