फलन f(x) = x cos frac{1}{x}, quad x geq 1 के | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \f

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$(B, C, D)$

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(A) दिया गया है $f(x) = x \cos \frac{1}{x}, x \geq 1$.सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime}(x) = \cos \frac{1}{x} + x \left( -\sin \frac{1}{x} ight) \left( -\frac{1}{x^2} ight) = \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$.अब,$\lim _{x ightarrow \infty} f^{\prime}(x)$ का मान ज्ञात करें:$\lim _{x ightarrow \infty} \left( \cos \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} ight) = \cos(0) + 0 \cdot \sin(0) = 1 + 0 = 1$. अतः,कथन $(B)$ सही है।अब,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:$f^{\prime \prime}(x) = -\sin \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} ight) + \left( -\frac{1}{x^2} ight) \sin \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \left( -\frac{1}{x^2} ight) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x}$.$x \in [1, \infty)$ के लिए,$\frac{1}{x} \in (0, 1]$। चूंकि $\cos 	heta > 0$ जब $	heta \in (0, 1]$,इसलिए $f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^3} \cos \frac{1}{x} अंतराल $[x, x+2]$ पर माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार,एक ऐसा $c \in (x, x+2)$ मौजूद है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} = f^{\prime}(c)$।चूंकि $f^{\prime}(x)$ निरंतर ह्रासमान है और $\lim _{x ightarrow \infty} f^{\prime}(x) = 1$,इसलिए सभी $x \in [1, \infty)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 1$ है।अतः,$f^{\prime}(c) > 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f(x+2)-f(x)}{2} > 1$,या $f(x+2)-f(x) > 2$। अतः,कथन $(C)$ सही है और $(A)$ गलत है।सही संयोजन $(B, C, D)$ है।

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