एक धात्विक डिस्क से एक त्रिज्यखंड (sector) हट | vedclass

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Question

(B) माना धात्विक डिस्क की त्रिज्या $R$ है। जब एक त्रिज्यखंड को हटा दिया जाता है और शेष भाग को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है,तो डिस्क की त्रिज्या $R$ शं

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$6$

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(B) माना धात्विक डिस्क की त्रिज्या $R$ है। जब एक त्रिज्यखंड को हटा दिया जाता है और शेष भाग को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है,तो डिस्क की त्रिज्या $R$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ बन जाती है।माना शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।हमारे पास संबंध $R^2 = x^2 + h^2$ है,जहाँ $R = l$ है।शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi x^2 h = 2 \sqrt{3} \pi$ दिया गया है।अतः,$x^2 h = 6 \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h}$।इस मान को $R^2$ के व्यंजक में रखने पर:$R^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h} + h^2$।न्यूनतम व्यास ज्ञात करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष $R^2$ का न्यूनीकरण करते हैं:$\frac{d(R^2)}{dh} = -\frac{6 \sqrt{3}}{h^2} + 2h$।$\frac{d(R^2)}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $2h = \frac{6 \sqrt{3}}{h^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $h^3 = 3 \sqrt{3}$।इससे $h = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।तब $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$।अतः,$R^2 = 6 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$,जिससे $R = 3$ प्राप्त होता है।डिस्क का व्यास $2R = 2 	imes 3 = 6$ है।

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