n in Z के न्यूनतम संभव मान के लिए, समीकरणों c | vedclass

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Question

(A) माना $a = \cos^{-1} x$ और $b^2 = (\sin^{-1} y)^2$. दिए गए समीकरण $a + b^2 = \frac{n \pi^2}{4}$ और $a \cdot b^2 = \frac{\pi^4}{16}$ हैं।ये द्विघात

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$(\cos(\frac{\pi^2}{4}), \pm 1)$

Vedclass · Answer

(A) माना $a = \cos^{-1} x$ और $b^2 = (\sin^{-1} y)^2$. दिए गए समीकरण $a + b^2 = \frac{n \pi^2}{4}$ और $a \cdot b^2 = \frac{\pi^4}{16}$ हैं।ये द्विघात समीकरण $t^2 - (\frac{n \pi^2}{4})t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ के मूल हैं।वास्तविक मूलों के लिए, विविक्तकर $D \ge 0$, इसलिए $(\frac{n \pi^2}{4})^2 - 4(\frac{\pi^4}{16}) \ge 0$.$\frac{n^2 \pi^4}{16} - \frac{\pi^4}{4} \ge 0 \Rightarrow n^2 \ge 4 \Rightarrow n \ge 2$ (चूंकि $n \in Z$ और वास्तविक $x, y$ के लिए $n > 0$ है)।न्यूनतम मान $n = 2$ के लिए, द्विघात समीकरण $t^2 - \frac{2 \pi^2}{4}t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ बन जाता है, जो $(t - \frac{\pi^2}{4})^2 = 0$ है।अतः, $a = \frac{\pi^2}{4}$ और $b^2 = \frac{\pi^2}{4}$.चूंकि $a = \cos^{-1} x = \frac{\pi^2}{4}$, इसलिए $x = \cos(\frac{\pi^2}{4})$.चूंकि $b^2 = (\sin^{-1} y)^2 = \frac{\pi^2}{4}$, इसलिए $\sin^{-1} y = \pm \frac{\pi}{2}$, अतः $y = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.हल $(\cos(\frac{\pi^2}{4}), \pm 1)$ है।

$n \in Z$ के न्यूनतम संभव मान के लिए, समीकरणों $\cos ^{-1} x + (\sin ^{-1} y)^2 = \frac{n \pi^2}{4}$ और $(\cos ^{-1} x)(\sin ^{-1} y)^2 = \frac{\pi^4}{16}$ का हल $(x, y)$ क्या है?

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