रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या ($L$.$P$.$P$.) के लिए,$z = 4x_1 + 2x_2$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए प्रतिबंध $3x_1 + 2x_2 \geq 9$,$x_1 - x_2 \leq 3$,$x_1 \geq 0$,$x_2 \geq 0$ हैं। इस समस्या का:

एक विनिर्माण कंपनी एक उत्पाद के दो मॉडल $A$ और $B$ बनाती है। मॉडल $A$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण (fabrication) के लिए $9$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $1$ श्रम घंटा आवश्यक है। मॉडल $B$ के प्रत्येक नग के लिए निर्माण के लिए $12$ श्रम घंटे और फिनिशिंग के लिए $3$ श्रम घंटे आवश्यक हैं। निर्माण और फिनिशिंग के लिए उपलब्ध अधिकतम श्रम घंटे क्रमशः $180$ और $30$ हैं। कंपनी मॉडल $A$ के प्रत्येक नग पर $8000$ रुपये और मॉडल $B$ के प्रत्येक नग पर $12000$ रुपये का लाभ कमाती है। अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रति सप्ताह मॉडल $A$ और मॉडल $B$ के कितने नग निर्मित किए जाने चाहिए? प्रति सप्ताह अधिकतम लाभ क्या है?

एक $LPP$ का सुसंगत क्षेत्र चित्र में दिखाया गया है। यदि $z = 3x + 9y$ है,तो $z$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर प्राप्त होता है?

यदि उद्देश्य फलन $z = 7x - 8y$ के लिए बाधाओं $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ के अधीन अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $5k + 200$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$LPP$ के लिए,$x+2y \leq 2$,$x+2y \geq 8$,$x, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $z=x+4y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

किसानों की एक सहकारी समिति के पास दो फसलों $X$ और $Y$ को उगाने के लिए $50$ हेक्टेयर भूमि है। फसलों $X$ और $Y$ से प्रति हेक्टेयर लाभ का अनुमान क्रमशः रु. $10,500$ और रु. $9,000$ है। खरपतवार को नियंत्रित करने के लिए,फसलों $X$ और $Y$ के लिए प्रति हेक्टेयर $20$ लीटर और $10$ लीटर की दर से तरल शाकनाशी (herbicide) का उपयोग किया जाना है। इसके अलावा,इस भूमि से जल निकासी एकत्र करने वाले तालाब में मछलियों और वन्यजीवों की सुरक्षा के लिए $800$ लीटर से अधिक शाकनाशी का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। समिति के कुल लाभ को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक फसल के लिए कितनी भूमि आवंटित की जानी चाहिए?