रैखिक समीकरणों के निकाय S: x+y+z=3, 2x+2y-z=3 | vedclass

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Question

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है: $x+y+z=3$ $2x+2y-z=3$ $x+y+\lambda z=1$ गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है: $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & -1

Vedclass · Accepted Answer

$S$ सभी $\lambda \in R$ के लिए संगत है

Vedclass · Answer

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है: $x+y+z=3$ $2x+2y-z=3$ $x+y+\lambda z=1$ गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है: $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & -1 \ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$ सारणिक $|A|$ का मान: $|A| = 1(2\lambda + 1) - 1(2\lambda + 1) + 1(2-2) = 0$ चूंकि $|A| = 0$, इसलिए किसी भी $\lambda \in R$ के लिए निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं है। अब, संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं: $[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \ 2 & 2 & -1 & | & 3 \ 1 & 1 & \lambda & | & 1 \end{bmatrix}$ $R_2 ightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 ightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \ 0 & 0 & -3 & | & -3 \ 0 & 0 & \lambda-1 & | & -2 \end{bmatrix}$ $R_2$ से, $-3z = -3 \implies z = 1$ प्राप्त होता है। $z=1$ को $R_3$ में रखने पर: $(\lambda-1)(1) = -2 \implies \lambda = -1$। यदि $\lambda = -1$ है, तो निकाय संगत है (अनंत हल)। यदि $\lambda 
eq -1$ है, तो निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)। अतः, कथन '$S$ सभी $\lambda \in R$ के लिए संगत है' गलत है।

रैखिक समीकरणों के निकाय $S: x+y+z=3, 2x+2y-z=3, x+y+\lambda z=1$ के लिए निम्नलिखित कथनों में से गलत विकल्प कौन सा है?

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