दो स्वतंत्र घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

एक निष्पक्ष पासे को अनिश्चित काल तक उछाला जाता है। खिलाड़ी $A$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $3$ या $5$ आता है, और खिलाड़ी $B$ जीतता है यदि दो लगातार उछालों में $1$ या $2$ या $4$ या $6$ आता है। खिलाड़ी $A$ के जीतने की प्रायिकता है:

आपको एक बॉक्स दिया गया है जिसमें $20$ कार्ड हैं। इनमें से $10$ कार्डों पर $I$ अक्षर छपा है और अन्य $10$ कार्डों पर $T$ अक्षर छपा है। यदि आप प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) एक के बाद एक तीन कार्ड निकालते हैं,तो $IIT$ शब्द बनने की प्रायिकता क्या है?

बॉक्स $1$ में $1, 2, 3$ नंबर वाले तीन कार्ड हैं; बॉक्स $2$ में $1, 2, 3, 4, 5$ नंबर वाले पांच कार्ड हैं; और बॉक्स $3$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ नंबर वाले सात कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक कार्ड निकाला जाता है। मान लीजिए $x_i$ $i$-वें बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर की संख्या है,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ विषम होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

बिंदुओं $(x, y)$ के समुच्चय $A_n$ पर विचार करें जैसे कि $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,जहाँ $n, x, y$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $S_n$ उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो $A_n$ के कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए कि हम $S_n$ से यादृच्छिक रूप से एक रेखा $l$ चुनते हैं। मान लीजिए $P_n$ वह प्रायिकता है कि $l$,वृत्त $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ की स्पर्शरेखा है। तो,सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ है

$\left\{1, 2, 2, 3, 3, 3\right\}$ अंकों वाले एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। पासे के फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ होने की प्रायिकता क्या है?