सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के लिए,यदि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ और $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए कि $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ तीन दिए गए सदिश हैं। यदि $\vec{r}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$ और $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ है,तो $\vec{r} \cdot \vec{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta$ सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण है,जहाँ $|\bar{a}|=4, |\bar{b}|=3$ और $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$,तो $|(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है,तो $a$ किसके बराबर है?

यदि रेखाएँ $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j})$ और $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k} + \mu(\hat{j} + 2\hat{k})$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो $(\lambda + \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ लंबकोणीय (orthogonal) हैं और $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है,तो $(\lambda, \mu) = $