વિધેય f(x) = (1 + frac{1}{x})^x માટે,નીચેનામા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$. $f(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ છે.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = x \ln(1 + \frac{1}{x

Vedclass · Accepted Answer

ન તો મહત્તમ કે ન તો ન્યૂનતમ કિંમત છે

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$. $f(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ છે.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(1 + \frac{1}{x}) + x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.ધારો કે $g(x) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.$x > 0$ માટે,$t = \frac{1}{x}$ લો,તો $t \in (0, \infty)$. $g(t) = \ln(1+t) - \frac{t}{1+t}$.$g'(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{(1+t) - t}{(1+t)^2} = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} = \frac{t}{(1+t)^2} > 0$ જ્યાં $t > 0$.$g(0) = 0$ હોવાથી અને $g(t)$ સતત વધતું વિધેય હોવાથી,તમામ $x > 0$ માટે $g(x) > 0$ થાય.આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર સતત વધતું વિધેય છે.$x  1$. $f(x) = (1 - \frac{1}{u})^{-u} = (\frac{u-1}{u})^{-u} = (\frac{u}{u-1})^u$.વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે $f'(x)$ પ્રદેશમાં ક્યાંય શૂન્ય થતું નથી,તેથી કોઈ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો (extrema) નથી.

વિધેય $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Similar Questions

વિધેય $f(x) = x + \sin x$ માટે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યના બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધેય $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ માટે $x \in [0, 9]$ અંતરાલમાં નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module