फलन f(x) = (1 + frac{1}{x})^x के लिए,निम्नलिख | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$. $f(x)$ का प्रांत $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(1 + \frac{1}{x

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न तो उच्चिष्ठ है और न ही निम्निष्ठ

Vedclass · Answer

(D) माना $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$. $f(x)$ का प्रांत $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ है।प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(1 + \frac{1}{x}) + x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.माना $g(x) = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$.$x > 0$ के लिए,$t = \frac{1}{x}$ लें,तो $t \in (0, \infty)$. $g(t) = \ln(1+t) - \frac{t}{1+t}$.$g'(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{(1+t) - t}{(1+t)^2} = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} = \frac{t}{(1+t)^2} > 0$ जहाँ $t > 0$.चूंकि $g(0) = 0$ और $g(t)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $g(x) > 0$ है।अतः सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर निरंतर वर्धमान है।$x  1$. $f(x) = (1 - \frac{1}{u})^{-u} = (\frac{u-1}{u})^{-u} = (\frac{u}{u-1})^u$.विश्लेषण से पता चलता है कि $f'(x)$ प्रांत में कहीं भी शून्य नहीं होता है,इसलिए कोई स्थानीय चरम मान (extrema) नहीं हैं।

फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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