दिया गया है f(x) = b ([x]^2 + [x]) + 1 जहाँ x | vedclass

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Question

(A) फलन के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$,और $x = -1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।सबसे पहले,$x = -1$

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$a = 2n + (3/2) ; b \in R ; n \in I$

Vedclass · Answer

(A) फलन के $x = -1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$,और $x = -1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।सबसे पहले,$x = -1$ पर फलन का मान ज्ञात करें:$f(-1) = b([-1]^2 + [-1]) + 1 = b(1 - 1) + 1 = 1$.इसके बाद,$x 	o -1^+$ के लिए दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o -1^+} f(x) = \lim_{h 	o 0} b([-1+h]^2 + [-1+h]) + 1 = b((-1)^2 + (-1)) + 1 = b(1-1) + 1 = 1$.अब,$x 	o -1^-$ के लिए बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o -1^-} f(x) = \lim_{h 	o 0} \sin(\pi(-1-h+a)) = \sin(\pi(a-1))$.सांतत्य के लिए,$LHL$ = $RHL$ = $f(-1)$,इसलिए $\sin(\pi(a-1)) = 1$.इसका अर्थ है कि $\pi(a-1) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in I$ कोई पूर्णांक है।$\pi$ से विभाजित करने पर,हमें $a - 1 = 2n + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a = 2n + \frac{3}{2}$ हो जाता है।चूंकि $b$ का $x = -1$ पर सीमा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है (क्योंकि $RHL$ $b$ से स्वतंत्र है),इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है $(b \in R)$.

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