ત્રણ સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ આપેલ છે,જેમાંથી બે સમરેખ છે. જો $\bar{a}+\bar{b}$ એ $\bar{c}$ સાથે સમરેખ હોય અને $\bar{b}+\bar{c}$ એ $\bar{a}$ સાથે સમરેખ હોય,અને $|\bar{a}|=|\bar{b}|=|\bar{c}|=\sqrt{2}$ હોય,તો $\bar{a} \cdot \bar{b}+\bar{b} \cdot \bar{c}+\bar{c} \cdot \bar{a}=$

$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ છે. જો $M$ એ વિકર્ણ $DB$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $\vec{OM}$ નો $\vec{OC}$ પરનો પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.

સદિશ $a$ જે સદિશો $i$ અને $j$ સાથે સમતલીય છે, અને સદિશ $b = 4i - 3j + 5k$ ને લંબ છે, જેથી $|a| = |b|$ થાય, તે સદિશ શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ શૂન્યતર,અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{b_1} = \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,$\vec{b_2} = \vec{b} + \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,અને $\vec{c_1} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_2} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_3} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{c}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_4} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો સદિશોનો સમૂહ પરસ્પર લંબ છે?

જો $a = x^2 \hat{i} + x \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $b = x \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $a \cdot b > 6$ હોય,તો:

એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $5\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{a} - 3\vec{b}$ છે, જ્યાં $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$ અને $|\vec{b}| = 3$ છે. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે. સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો.