तीन सदिश a=2 hat{i}-hat{j}+hat{k},b=hat{i}+2 | vedclass

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Question

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $d$,$b$ और $c$ के समतल में है। अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $d = b + \lambda c$ होगा। दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:

Vedclass · Accepted Answer

$-2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$

Vedclass · Answer

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $d$,$b$ और $c$ के समतल में है। अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $d = b + \lambda c$ होगा। दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $d = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 + \lambda)\hat{j} - (1 + 2\lambda)\hat{k}$. $d$ का $a$ पर प्रक्षेप $\frac{|d \cdot a|}{|a|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ द्वारा दिया जाता है। सबसे पहले,$a \cdot d$ की गणना करें: $a \cdot d = 2(1 + \lambda) - 1(2 + \lambda) + 1(-1 - 2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$. इसके बाद,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$. अतः,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$. इस प्रकार,$|-\lambda - 1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-\lambda - 1 = 2$ या $-\lambda - 1 = -2$. यदि $-\lambda - 1 = 2$ है,तो $\lambda = -3$. $d$ में $\lambda = -3$ रखने पर: $d = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} - (1 - 6)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$. यह विकल्प $A$ के अनुरूप है।

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$\lambda$ का वह मान जिसके लिए सदिश $2\lambda \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $2\hat{j} + \hat{k}$ परस्पर लंब हैं,है:

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ का $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ पर लंब प्रक्षेप सदिश क्या है?

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