ऐसे कितने बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक फलन) $f: Z \rightarrow Z$ हैं कि सभी $x, y \in Z$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ हो?

एक वास्तविक मान वाला फलन $y = f(x)$ संबंध $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$ को संतुष्ट करता है। $f''(2)$ का मान है

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x, y \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है और $f(1)=10$ है, तो $\sum_{r=1}^n(f(r))^2=$

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ और $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\frac{3^x+3^{-x}}{2}, \forall x \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है और यह $f(x+y)+f(x-y)=a f(x) f(y)$ को संतुष्ट करता है, तो $a=$

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए परिभाषित किया गया है और $f(1)=7$ है,तो $\sum_{r=1}^n f(r)=$