एक वास्तविक मान वाला फलन y = f(x) संबंध fleft | vedclass

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Question

(B) दी गई असमिका: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$. माना $g(x) = \frac

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$\frac{9}{2}$

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(B) दी गई असमिका: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$. माना $g(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9}$. असमिका को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $f\left( x - \frac{4}{9} \right) \le g(x) - 2x$ और $g(x) + 2x \le f\left( x + \frac{4}{9} \right)$. माना $x - \frac{4}{9} = t$,तो $x = t + \frac{4}{9}$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $f(t) \le \frac{9}{4}(t + \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} - 2(t + \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 + 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} - 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$. इसी प्रकार,दूसरे भाग के लिए,माना $x + \frac{4}{9} = t$,तो $x = t - \frac{4}{9}$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $f(t) \ge \frac{9}{4}(t - \frac{4}{9})^2 + \frac{8}{9} + 2(t - \frac{4}{9}) = \frac{9}{4}t^2 - 2t + \frac{4}{9} + \frac{8}{9} + 2t - \frac{8}{9} = \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$. चूंकि $f(t) \le \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$ और $f(t) \ge \frac{9}{4}t^2 + \frac{4}{9}$,इसलिए $f(x) = \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9}$ होना चाहिए। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{4}x^2 + \frac{4}{9} \right) = \frac{9}{2}x$. $f''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{9}{2}x \right) = \frac{9}{2}$. अतः,$f''(2) = \frac{9}{2}$.

एक वास्तविक मान वाला फलन $y = f(x)$ संबंध $f\left( x - \frac{4}{9} \right) + 2x \le \frac{9}{4}x^2 + \frac{8}{9} \le f\left( x + \frac{4}{9} \right) - 2x$ को संतुष्ट करता है। $f''(2)$ का मान है

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