अंकों $1, 2, 3, 4, 5, 6$ का उपयोग करके (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) $3000$ और $4000$ के बीच $5$ से विभाज्य कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

यदि सचिव को अध्यक्ष के एक तरफ और उप-सचिव को दूसरी तरफ बैठना हो,तो एक परिषद के $15$ सदस्य एक गोलाकार मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी या सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर होने चाहिए,तो यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

$112233$ संख्या के अंकों का उपयोग करके $6$ अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज पर व्यवस्थित किया जाना है। यदि उनमें से दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में न बैठें,तो व्यवस्थाओं की कुल संख्या क्या होगी?

$BALLOON$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दो $L$ एक साथ न आएं?