यदि y = tan^{-1}left(frac{1}{x^2 + x + 1}righ | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 	an^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}ight)$ है,जहाँ $r = 1, 2, \dots, n$ है। इसे $T_r = 	an^{-1}\left(

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$\frac{1}{1 + (x + n)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$

Vedclass · Answer

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 	an^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}ight)$ है,जहाँ $r = 1, 2, \dots, n$ है। इसे $T_r = 	an^{-1}\left(\frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}ight)$ के रूप में लिखा जा सकता है। $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}ight)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $T_r = 	an^{-1}(x+r) - 	an^{-1}(x+r-1)$ प्राप्त होता है। $n$ पदों तक योग करने पर: $y = [	an^{-1}(x+1) - 	an^{-1} x] + [	an^{-1}(x+2) - 	an^{-1}(x+1)] + \dots + [	an^{-1}(x+n) - 	an^{-1}(x+n-1)]$. यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $y = 	an^{-1}(x+n) - 	an^{-1} x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (x+n)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$।

यदि $y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + x + 1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 3x + 3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + 5x + 7}\right) + \dots$ $n$ पदों तक है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}} \right] = $

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यदि $x \geq 1$ है,तो $2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} (\frac{2x}{1+x^2})$ का मान क्या होगा?

$x$ के मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x-2}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2 x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ है।

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