यदि hat{x}, hat{y}, और hat{z} त्रिविमीय आकाश | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,$|\hat{

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(B) दिया गया है कि $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{x}| = |\hat{y}| = |\hat{z}| = 1$.हम जानते हैं कि किसी भी सदिश के लिए,$|\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}|^2 \geq 0$.इसका विस्तार करने पर,हमें $|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$ प्राप्त होता है।परिमाण रखने पर,$1 + 1 + 1 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$,जिसका अर्थ है $3 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq 0$.अतः,$2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$.अब,व्यंजक $S = |\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ पर विचार करें।$S = (\hat{x} \cdot \hat{x} + \hat{y} \cdot \hat{y} + 2\hat{x} \cdot \hat{y}) + (\hat{y} \cdot \hat{y} + \hat{z} \cdot \hat{z} + 2\hat{y} \cdot \hat{z}) + (\hat{z} \cdot \hat{z} + \hat{x} \cdot \hat{x} + 2\hat{z} \cdot \hat{x})$.$S = 2(|\hat{x}|^2 + |\hat{y}|^2 + |\hat{z}|^2) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.$S = 2(1 + 1 + 1) + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) = 6 + 2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x})$.चूंकि $2(\hat{x} \cdot \hat{y} + \hat{y} \cdot \hat{z} + \hat{z} \cdot \hat{x}) \geq -3$,इसलिए $S$ का न्यूनतम मान $6 - 3 = 3$ है।

यदि $\hat{x}, \hat{y},$ और $\hat{z}$ त्रिविमीय आकाश में तीन इकाई सदिश हैं,तो $|\hat{x} + \hat{y}|^2 + |\hat{y} + \hat{z}|^2 + |\hat{z} + \hat{x}|^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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